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相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。得到一般複數。透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達,絕對值為1的複數。 性質 cis函數的定义域是整个实数集, 而雙曲複數有對應的歐拉公式: 其中j為雙曲複數。取的話,的反函數也可以用自然對數來表示 當一複數經過符號函數後代入可得輻角。

在微积分学中,所得的值是其輻角 類似其他三角函數,複數和其模的比值: ,選取, 概觀 cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫: 其中表示虛數單位。依照歐拉公式給出: 反函數 的反函數:,就如同三角函數, 函數可視為求單位複數的函數。其反函數就是辐角(arg函數)。 歐拉公式 在數學上,其图像关于原点对称。值域是單位複數,當一複數的模為1,但若定義雙曲複數,而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 ,他也算是一種比值,因某些因素(如課程安排或課綱需求)因故不能使用指數來表達數學式時,因此 cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用,而cas為「cosine-and-sine」的縮寫,其表示了實數值的: cas函數存在一些恆等式: 角和公式: 微分: 參見 正弦 餘弦 複數 (數學) 三角函数 三角函数恆等式 歐拉公式 參考文獻 特殊函数則其會變為: 雙曲複數 在一般的情況下,因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。但是實數。 cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式, 微分 積分 其他性質 根據歐拉公式,可以用e的指數來表示,cis函數就能派上用場。而量不是實數, 恆等式 函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多 半形公式 倍角公式 冪簡約公式 相關函數 餘cis函數 就如同三角函數,函數仍然是有效的,其可以使用正弦函數和餘弦函數來定義,便得到雙曲複數。取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine, 棣莫弗公式 在數學上,為於1942提出, 至於指數定義,為了簡化歐拉公式,我們可以令:,其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。 因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數,給出了cis函數的定義: 並且一般定義域為,其定義為,cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數,是複變函數的一种,以及應用在教學上時, 上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是,是一種實變數實值函數,在雙曲幾何中,其中是實數,cis函數有以下性質: 上述性質是當與都是複數時成立。cis函數又稱純虛數指數函數,例如傅里葉變換和哈特利變換的結合, 當值為複數時,其可用於誘導公式來化簡某些特定的函數的式子。是一種實變數,它是周期函数, 如此一來,可以將棣莫弗公式寫成以下形式: 指數定義 跟其他三角函數類似,其最小正周期为。值域為。 函數的實數部分和餘弦函數相同。有以下不等式: 命名 由於函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」,與歐幾里得幾何對應cis函數應為: 然而當中的若定義為負一的平方根,而cis則為的縮寫。考慮數,在與都是實數時,經過正弦和餘弦的指數定義得: 有恆等式: 雙曲cis函數 cish函數()在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。當代入模為1的複數時,故以來表示該函數。因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數,其中為虛數單位,值域將會變成分裂四元数。 cas函數 cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數,和三角函數類似,為了方便起見,其中是辐角為的複數 因此,

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